El Complemento de Régimen

El Complemento de Régimen es un complemento que se llama así porque está siempre introducido por una preposición que el verbo "pide" o "rige": es decir, que esa preposición es fija con ese verbo. No expresa circunstancias externas, sino que completa el significado del verbo, como el Complemento Directo, pero a diferencia de este, va introducido siempre por preposición y no se sustituye por "lo, la, los, las",

POR TANTO, EL COMPLEMENTO DE RÉGIMEN:

Completa el significado del verbo (no expresa circunstancias externas).
Va introducido por preposición. Esa preposición es fija al lado del verbo: es decir, el verbo, con ese significado, "rige" o "pide un complemento con esa preposición, que no puede cambiarse.

Creer en algo, Pensar en algo,
Reírse de algo, Arrepentirse de algo,
Soñar con algo, Convertirse en algo,
Quejarse de algo, Atreverse a algo.

En algunos casos, el significado del verbo cambia según se construya con Complemento de Régimen o no:

Contar algo / Contar con algo,
Aspirar algo / aspirar a algo

¿CÓMO SE RECONOCE?

Frente a los Circunstanciales, que expresan circunstancias externas y generalmente pueden eliminarse sin que el significado básico del verbo o la oración se vean alterados, al eliminar el Complemento de Régimen la oración o cambia sustancialmente o queda incompleta.

Cuenta con mi ayuda para la mudanza:

Cuenta con mi ayuda // *Cuenta para la mudanza

Si eliminamos "con mi ayuda" la oración deja de tener sentido,

si eliminamos "para la mudanza" sigue teniendo sentido.

Por lo tanto, "con mi ayuda" es Complemento de Régimen

y "para la mudanza" Complemento Circunstancial (de finalidad)